テレビ「笑わない数学 超越数」見ました。毎回判らないなりに知ってる部分や妙に納得する部分があるのですが、この超越数の回はほとんどが判りませんでした。数学者ってえらいですね。昔理学部数学科にいたお嬢さんがいましたがどうしているのでしょうね。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
超越数（ちょうえつすう、英: transcendental number）とは、代数的数でない複素数、すなわちどの有理係数の代数方程式
x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0（n は正の整数、各 ai は有理数）
の解（英語版）にもならない複素数のことである。有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無理数であるが、例えば無理数 √2 は二次方程式 x2 − 2 = 0 の解であるから、その逆は成り立たない。超越数論は、超越数について研究する数学の分野で、与えられた数の超越性の判定などが主な問題である。
よく知られた超越数にネイピア数 e（自然対数の底）や円周率 πがあり、またほとんど全ての複素数が超越数であることが分かっている。ただし超越性が示されている複素数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率はともに超越数であるにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。
代数学の標準的な記号
{\mathbb {Q}}[x] で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って A と書けば、超越数全体の集合は
{\displaystyle \mathbb {C} \setminus A=\{a\in \mathbb {C} \mid 0\neq \forall p(x)\in \mathbb {Q} [x],\;p(a)\neq 0\}}
となる（{\displaystyle \mathbb {C} }は複素数、
∖\setminus は差集合、
{\displaystyle \mathbb {C} \setminus A}は「複素数のうち代数的数以外の数の集合」）。
なお、本稿では log を自然対数とする。
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